6. विभाज्यता

 2.1 : विभाज्यता

इसे जानें

1) भाग की संक्रिया करते समय यदि शेषफल शून्य प्राप्त होता है तो 'भाज्य' को विभाज्य और भाजक को विभाजक कहते हैं।

जैसे  42÷6 = 7 

42 को विभाज्य

और 6 को विभाजक कहते हैं।

2) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 आदि 64 के विभाजक हैं। 13 से विभाज्य होनेवाली संख्याएँ 13, 26, 39,....हैं। 

3) विभाज्यता की कसौटियाँ :

i) 2 की विभाज्यता की कसौटी : यदि किसी संख्या के इकाई स्थान पर 0,2,4, 6, 8, अंक हों तो वह संख्या 2 से विभाजित होती है। अर्थात उस संख्या में 2 से निःशेष भाग जाता है।

जैसे 1) 356   ii) 578   iii) 480   iv) 112    v) 864 0   सम संख्याओं में 2 से नि:शेष भाग जाता है।

ii) 3 से विभाज्यता की कसौटी :

यदि किसी संख्या के अंकों के योगफल में 3 से निःशेष भाग जाता है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य होती है। इसी प्रकार तीन अंकों की संख्या में यदि तीनों अंक समान हों तो उस संख्या में3 से निःशेष भाग जाता है।

जैसे  879987  संख्या के सभी अंकों का योगफल 8 + 7 + 9 + 9+ 8 +7= 48

48   के अंको का योगफल = 4+ 8 = 12

12 के अंकों का योगफल = 1 + 2 = 3 है।

3 से निःशेष भाग जाता है। प्रत्येक विषम संख्याओं में 3 से निःशेष भाग जाता है यह संकल्पना गलत है।

इसी प्रकार प्रत्येक सम संख्याओं में 3 से निःशेष भाग नहीं जाता यह संकल्पना भी गलत है।

iii) 5 की विभाज्यता की कसौटी :

पर किसी संख्या के ईकाई स्थान पर 0 अथवा 5 में से कोई एक अंक है तो उस संख्या में 5 से निःशेष भाग जाता है।

iv) 10 की विभाज्यता की कसौटी :

यदि किसी संख्या के ईकाई स्थान पर 0 अंक है तो उस संख्या में 10 से नि:शेष भाग जाता है।

4, 6, 9 और 11 की विभाज्यता की कसौटियाँ :

1) 4 की कसौटी:

यदि किसी संख्या की दहाई और ईकाई के स्थान वाले अंकों से बनने वाली संख्या में 4 से

निःशेष भाग जाता है, तो वह संख्या 4 से विभाज्य होती है।

2) 6 की कसौटी :

यदि किसी संख्या में 2 और 3 से निःशेष भाग जाता है तो उस संख्या में 6 से भी निःशेष भाग जाता है।

3) 9 की कसौटी :

यदि किसी संख्या के अंकों के योगफल में 9 से निःशेष भाग जाता है, तो वह संख्या 9 से विभाज्यहोती है।

4) की कसौटी :

यदि किसी संख्या में समस्थान के अंकों के योगफल तथा विषम स्थान के अंकों के योगफल का अंतर 0 या 11 हो तो उस संख्या में 11 से निःशेष भाग जाता है।

5) 8 की कसौटी :

दी गई संख्या के सैकड़ा स्थान तक के अंको से तैयार होनेवाली संख्या में यदि 8 से निःशेष भाग जाता हो तो उस संख्या में भी 8 से नि:शेष भाग जाता है।

6) 7 की कसौटी :

यदि किसी संख्या के इकाई स्थान के अंक का दुगना शेष अंको से बनी संख्या से घटाने पर शेषफल शून्य हो या 7 से विभाज्य हो तो उस संख्या में 7 से निःशेष भाग जाता है।

जैसे, 105 संख्या का ईकाई स्थान का अंक 5

ईकाई का दुगना = 5 x 2 = 10

शेष अंको से बनी संख्या = 10

10 – 10 = 0

शेषफल शून्य इसलिए 105 को 7 से निःशेष भाग जाता है।

(v) Divisibility by 11:

   If the sum of the digits in the odd places of a number equals the sum of the digits in its even places or if their difference is divisible by 11, then the given number also is divisible by 11. e.g.

(a) In the number 1243, the sum of the odd place digits = 1+4=5

the sum of the even place digits = 2+3=5. : 1243 is divisible by 11.

(b) In the number 11979, the sum of the odd place digits = 1 +9+9 = 19

the sum of the even place digits = 1 +7=8. Difference between them = 19–8=11.

This is divisible by 11. .. 11979 is divisible by 11.

Divisibility by 12	4 x 3
Divisibility by 15	3 x 5
Divisibility by 27	9 x 3